Funciones de Variables real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite. Si la función  tiene límite  en  podemos decir de manera informal que la función  tiende hacia el límite  cerca de  si se puede hacer que  esté tan cerca como queramos de  haciendo que  esté suficientemente cerca de  siendo  distinto de .

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo  existe un  tal que para todo número real x en el dominio de la función .

Esto, escrito en notación formal:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función .

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.

No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet  definida como:

donde no existe un número c para el cual exista  . Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Límites laterales

De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha):

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Propiedades generales

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguiente propiedades:

Límites trigonométricos