Clasificación de Derivada

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x).

Derivada de la función lineal mx + b 
Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x, 
  lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta. 

Derivada de una constante por una función, k · f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:

 

Derivada de la función potencia x^m (m un número natural)

Para calcular la derivada de la función f(x) = x^m, m > 0, hay que evaluar el cociente

Tomando límites cuando h --> 0,

sumandos tiende a cero (su límite es cero).
Se concluye que 

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x

La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x

La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x

Si necesitas las demostraciones dímelo.

Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|

Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:

a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero.
b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.


Derivadas de las funciónes exponenciales a^x y e^x

Sea la función y = a^x, siendo a una constante positiva distinta de 1.

Derivada de una suma de funciones

Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando.
Derivada de una diferencia de funciones
                     f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))'
Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función:
                             [- g(x)]' = [(- 1) · g(x)]' = (- 1) · g'(x) = - g'(x)
 
En consecuencia,
                                           [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) 

Derivada de un producto de funciones
Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,
 Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,  
 Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,